2. Miss función logaritmo

Gráfico que muestra la reciprocidad entre dos conjuntos relacionados por una funciónVamos a coger una de las funciones del punto anterior, por ejemplo, la función f(x) = 2x.

Cógete la calculadora y construye una tabla de valores para la función. Por ejemplo, algo similar a ésta:

x -3 -2 -1
0
1
2
3
y=f(x)=2x
0,125
0,25 0,5 1
2 4 8

Imagínate ahora una función que fuera al revés, es decir, una función que del resultado fuera al valor de partida, es decir, una función que, por ejemplo, cuando yo le diera el valor 8, ella me diera como resultado 3. Vamos llamar g(x) a esa función. Así la tabla de valores para g sería la contraria:

y
0,125 0,25 0,5 1 2 4 8
x=g(y)
-3 -2 -1 0
1
2
3

Pues bien, esa función g(x) que hemos construido, sería la función inversa de la función inicial f(x) = 2x, pues para cada valor de la función f, cumple que g(y) = x

En la siguiente animación podemos ver como quedan ambas funciones representadas.

Pulsa sobre el botón "animar" para comenzar otra vez. Pulsando sobre el control "a" puedes modificar el valor de la base de la exponencial.

 

Applet de ISFTIC en EDAD bajo licencia Creative Commons.

 


Como puedes ver, pongas la base que pongas, las dos funciones son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante, propiedad que cumplen todas las parejas de funciones inversas.

Además, la función g, aparece escrita así:

 

 

Y es que, así es como vamos a llamar a esa función inversa, LOGARITMO.

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La función logaritmo en base a de x, se define como la función inversa de la función exponencial y= ax, y se expresa:

 


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Retrato de John Napier
5. Imagen en Wikimedia Commons bajo licencia Creative Commons

 

 

La palabra logaritmo procede del griego λόγος (logos) que significa proporción, y ἀριθμός (arithmos) número, y se define, literalmente, como un número que indica una relación o proporción.

John Napier (latinizado Neperus) fue el primero que, en 1614, utilizó un método de cálculo basado en logaritmos. Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando la resolución de cálculos muy complejos. Los logaritmos fueron utilizados habitualmente en geodesia, navegación y otras ramas de la matemática aplicada.


Pero no es necesario recurrir a la función inversa para poder describir o formar la función logaritmo.

El logaritmo, por sí solo es una operación matemática, y para calcularlo, hay que hallar el número que al elevar la base por él, me dé el argumento del logaritmo.

 

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Para calcular , tenemos que determinar un número "c", de forma que "a" elevado a "c" me dé "b":

 

 

 Así, por ejemplo, porque 23 = 8.


Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto

 

Chico sentado en la calle concentrado en un libro
6. Imagen de edithbruck bajo licencia Creative Commons

Vamos a familiarizarnos un poco con la definición calculando algunos logaritmos. Por ejemplo, vamos a calcular

 


Icono de IDevice de pregunta AV - Pregunta de Elección Múltiple

Determina la opción correcta.

1. log2 (16) es

  
2
4
8

2. log10 (100000) vale
  
6
4
5

3. log10 (0,001)
  
-3
1
3

4. log2 0,25 es
  
0
-2
-0,5

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La función logaritmo en base "a" de x; , podemos definirla también como la función que a cada valor de x, le asocia el resultado del logaritmo en base "a" de dicho valor. O sea, que como las otras funciones, podemos construirla a partir de una tabla de valores.

 En la siguiente escena aparece representada la función  para cualquier valor de "a". Modifica el control y observa lo que ocurre. En el siguiente apartado veremos cómo hacer los cálculos necesarios.



Icono de iDevice AV - Reflexión

Contesta a las siguientes cuestiones a partir de la escena anterior:

 

  1. ¿Para qué valores de la base "a" existe la función logaritmo?
  2. ¿Cuál es el dominio de la función logaritmo?¿Y el recorrido?
  3. ¿Por qué punto pasa siempre?
  4. Según el valor de "a", ¿cómo es la función, creciente o decreciente?
  5. ¿Hay alguna asíntota?

 

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En un logaritmo, el argumento, es decir, el número sobre el que opera siempre tiene que ser positivo.

Así, si en lugar de loga (x), tenemos la función f(x) = loga (g(x)), el dominio será el conjunto de puntos donde g(x) es positivo;

Dom(f) = {x / g(x)>0 }

 


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Logaritmo y pH

Bote con gel y jabón que indican pH 5.5

En la Naturaleza se dan situaciones en las que se tienen que utilizar medidas de órdenes muy diferentes. Por ejemplo, si hablamos del peso de los seres vivos, tenemos que:

  • Un hombre puede pesar 90 kg = 90.000 gr = 10 4,96 gr
  • Un rotífero (el menor animal pluricelular): 0,00000000603 gr = 10 –8,22 gr
  • Una ballena (el mayor de todos los animales): 120 T = 120.000.000 gr = 10 8,08 gr

Así que si tenemos que referirnos a diferentes animales por sus pesos o hacer una gráfica con los mismos, es un gran inconveniente que haya tan enormes diferencias entre unos y otros. Una solución para abreviar la expresión de esas diferencias es asignar a cada animal el logaritmo decimal de su peso.

Así, al hombre le asignaríamos el valor 4,96, al rotífero -8,22 o a la ballena 8,08, cifras en cualquier caso mucho más cómodas de manejar. En este caso, estaríamos usando una escala logarítmica que iría aproximadamente desde -8 hasta 8.

Pues bien algo muy similar se utiliza para asignar la medida del pH de una determinada solución. Seguro que has visto y oído más de una vez eso de "pH neutro" en algún producto de aseo como champú, gel, desodorante,...

El pH es la concentración de iones hidronio [H3O+] presentes en determinada sustancia. La sigla significa "potencial de hidrógeno". Este término fue acuñado por el químico danés Sørensen, quien lo definió como el logaritmo negativo de base 10 de la actividad de los iones hidrógeno. Esto es:

 

\mbox{pH} = -\log_{10} \left[ \mbox{a}_{H_3O^+} \right]

 

 

tabla ilustrativa con ejemplos de la escala del pH
8. Imagen de epa.gov bajo licencia Creative Commons

 

Desde entonces, el término "pH" se ha utilizado universalmente por lo práctico que resulta para evitar el manejo de cifras largas y complejas.

 

La escala logarítmica del pH va de 0 a 14 en disolución acuosa, siendo ácidas las disoluciones con pH menores a 7, y básicas las que tienen pH mayores a 7. El pH = 7 indica la neutralidad de la disolución (donde el disolvente es agua).

 

Por ejemplo, los jugos gástricos tienen pH= 1,5, el vinagre 2,9, la leche 6,5, el agua 7, el jabón entre 9 y 10 y el amoniaco 11,5.


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