2.1. Combina2

La Unidad 1 de esta materia está dedicada a estudiar distintas clases de números: naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Pero, como decían los famosos dibujos animados: "no se vayan todavía, aún hay más..."

¿Todavía más? Pues sí. En este apartado vamos a ver dos nuevos tipos: los números factoriales y los números combinatorios.

Como cualquier otro objeto matemático, su misión principal es ayudarnos a resolver problemas. En este caso, los números combinatorios nos ayudarán a trabajar con las distribuciones normales y a calcular probabilidades con este tipo de distribuciones.

Combinatoria de wikimedia commons con licencia by-2.0-deed

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Se define el factorial de un número entero positivo, n, como el producto de todos los números menores o iguales que él. Se escribe n!

n! = n · (n-1) · (n-2) · (n-3) · ... · 2 · 1

 

Por convenio: 0! = 1

Ejemplo: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120


Los números factoriales son necesarios para definir los números combinatorios.

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Si tenemos dos números enteros positivos m y n (con n m ), se define el número combinatorio m sobre n con la siguiente expresión:   

 

 

Su resultado es un número positivo que indica el número de combinaciones distintas de n elementos que se pueden formar con m elementos.  Los números combinatorios cumplen una serie de propiedades. Indicamos algunas de ellas:


En las siguientes escenas de Descartes puedes practicar calculando números factoriales y combinatorios. Practica con algunos números de este tipo, que tú te propongas, haz los cálculos en papel y comprueba a continuación en la escena que el resultado es correcto.

Por ejemplo, puedes ver cuánto vale 0!,  ó un número m cualquiera sobre 0, .


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En una clase de 24 estudiantes, queremos formar un grupo de 6 que representen a dicha clase en un concurso de elaboración de fíguras geométricas que se realizará en el instituto con motivo de la semana de la ciencia.

(a) ¿Cuántas maneras, combinaciones posibles, hay de formar el grupo?

(b) ¿De cuántas maneras puede hacerse el grupo sabiendo que un alumno muy creativo de la clase, Jesús, debe estar de manera fija en el grupo?


primitiva

Triángulo de Sierpinski con material reciclado.

 

A continuación se incluye un pequeño vídeo donde se muestra como calcular números combinatorios, de un modo sencillo, con Wiris. Tras el vídeo se incluye espacio de trabajo en Wiris, que podrás usar, por ejemplo, en la siguiente Autoevaluación.

Icono de IDevice de pregunta AV - Pregunta de Elección Múltiple

Realiza las siguientes actividades. Puedes optar por hacerlas con las escenas de Descartes o con Wiris, pero, sería interesante que previamente reforzaras los conceptos de números factorial y combinatorio efectuando los cálculos en con bolígrafo y papel.

Una vez realizada deberás elegir, en cada caso, una de las tres opciones propuestas:

(1) 10! =

  
(a) 100
(b) 1000000
(c) 3628800

(2)
  
(a) 30
(b) 21
(c) 14

(3) Tenemos cuatro botes de pintura cada uno de un color: azul, blanco, rojo y verde. ¿Cuántas mezclas de pinturas de 2 colores podemos hacer?
       
(a) mezclas.
(b) mezclas.
(c) mezclas.

(4)
       
(b) 1000000
(b) 1
(c) 0

Icono IDevice Objetivos

Si quieres profundizar sobre la Combinatoria, puedes hacerlo trabajando con esta magnífica unidad del proyecto Descartes

Unidad Didáctica: Combinatoria (elaborada por Luis Barrios Calmaestra)