La obsolescencia programada nos indica que se fabrican productos tecnológicos con fecha de caducidad interna para poder mantener el sistema de producción. El vídeo que te mostramos corresponde al documental "Comprar, tirar, comprar" emitido en la noche temática de La 2 (aquí puedes verlo completo) 

Para comprobar la veracidad de este problema una asociación de consumidores ha contratado a nuestra empresa TisBet Survey para que haga un estudio de la vida media útil de un pequeño electrodoméstico.

Nuestra empresa realiza un estudio con 100 personas que han comprado dicho aparato. En este caso, se obtiene una media de vida útil de 880 días y una desviación típica σ de 180 días.

Los técnicos de TisBet Survey han decidido dar como respuesta a la asociación un intervalo de vida media útil. Es decir, algo parecido a "la vida media útil de este electrodoméstico está entre 2,5 años y 2,6 años con una probabilidad del 95%".

¿Por qué lo hacen así? La estimación puntual es poco útil, pues solo obtenemos un valor como aproximación al que tratamos de  estimar. Es mucho más interesante obtener un intervalo dentro del cual se tiene una cierta confianza de que se encuentre el parámetro que tratamos de estimar. Estos intervalos ya los habíamos estudiado en el tema anterior cuando calculábamos la estimación de la proporción de un determinado aspecto de una población. 

El objetivo que se pretende con los intervalos de confianza es obtener un intervalo de poca amplitud y con una alta probabilidad de que el parámetro que buscamos, en este caso μ, se encuentre en su interior. Así pues, elegiremos probabilidades cercanas a la unidad, que se representan por 1-α y cuyos valores más frecuentes suelen ser 0,90; 0,95 y 0,99.

Veamos como sería en el caso del estudio de la media, es decir, vamos a estimar mediante un intervalo el parámetro media poblacional μ, suponiendo que la población de partida es N(μ, σ). Recuerda que el Teorema central del límite nos permite suponer que esto es cierto para valores del tamaño muestral superiores a 30 individuos.

Recordemos que para una muestra de tamaño n suficientemente grande la distribución del estadístico .

Veamos como conseguir nuestro intervalo. Tipificando la variable aleatoria , que se aproxima a una N(0,1).

Queremos que la vida media útil de nuestro electrodoméstico esté en el intervalo que vamos a construir con una probabilidad del 95%. A este valor, en tanto por uno, lo vamos a llamar 1-α, es decir, α=0,05.

Como queremos que el intervalo esté centrado en la media (que como está tipificada la variable es 0) tendremos que el intervalo tiene los extremos iguales en valor absoluto:

Como la distribución N(0,1) siempre toma los mismos valores, el valor que buscamos tiene que dejar a la izquierda de z=a exactamente un área de α/2+(1-α)=0,025+0,95=0,975. Vamos a llamar a ese número valor crítico y lo vamos a representar como a=z_1-α/2. Date cuenta que el subíndice de z coincide con la probabilidad que buscaremos en la tabla de la N(0,1). Con ayuda de esta tabla podemos ver que z_0,975=1,96. El intervalo de confianza tipificado es (-z_0,975,z_0,975)=(-1.96,1.96) . Veamos como se calcula el valor crítico en la siguiente película:

Vamos a sustituir el valor de Z en la fórmula original, para calcular el intervalo centrado en la media estimada, por lo que tendremos: