4. Malabarismo. Gauss

Hay multitud de situaciones y problemas cuya solución se obtiene resolviendo sistemas con muchas ecuaciones e incógnitas. Si ya tiene mérito resolver problemas usando dos ecuaciones, imagínate con tres, cuatro, ... Es casi un ejercicio de "malabarismo".

Pero no te preocupes, que no usaremos sistemas excesivamente complejos. Comenzaremos este apartado con una curiosidad, con un toque de humor las cosas se ven de otra manera.

¡Matemáticas, aplicación a las ciencias y humor pueden ir de la mano!

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¿Has oído alguna vez la frase "fallas más que el hombre del tiempo"?
En los años 60 del siglo XX, Edward Lorenz se dedicaba a estudiar el comportamiento de la atmósfera buscando un conjunto de ecuaciones sencillas que permitiera hacer predicciones climatológicas. Consiguió encontrar un modelo donde tres variables expresan como cambian a lo largo del tiempo, la velocidad y la temperatura del aire. Lo resumió en tres ecuaciones muy simples conocidas como modelo de Lorenz.
 
 
 
 
 
 
El aleteo de una mariposa puede provocar la rotura del tejado de una casa
 
 
 
 
 
 
Pero, el matemático y físico, se llevó una gran sorpresa cuando observó que pequeñas diferencias en los datos de partida (algo tan simple como utilizar 3 ó 6 decimales) llevaban a grandes diferencias en las predicciones. Es decir, comprobó que cualquier pequeña perturbación, o error, en las condiciones iniciales del sistema tenía gran influencia sobre el resultado final. En definitiva, demostró que, los hombres y mujeres del tiempo, no es que fallen en sus predicciones, sino que es casi imposible acertar con toda seguridad en predicciones meteorológicas a largo plazo debido al propio comportamiento de la atmósfera.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿Sabes lo qué es "el efecto mariposa"?
 
Lorenz intentó explicar esto con un ejemplo sencillo. Sugirió que imaginásemos a un meteorólogo que hubiera conseguido hacer una predicción muy exacta del comportamiento de la atmósfera, mediante cálculos muy precisos y con datos muy exactos. Pues debido al comportamiento de la atmósfera, esta predicción podría fallar, simplemente por no haber tenido en cuenta el aleteo de una mariposa en el otro lado del planeta. Ese simple aleteo podría introducir perturbaciones en el sistema que llevaran a la predicción de una tormenta.
 
 
 
 
 
 
 
 
Así surgió el nombre de efecto mariposa. Se denomina efecto mariposa a la amplificación de errores que pueden aparecer en el comportamiento de un sistema complejo. Un pequeño error o desviación, al principio, puede causar unos efectos sorprendentes al final.
 
 

¿Y cómo resolvemos sistemas de ecuaciones con muchas ecuaciones e incógnitas?

Gauss, dio una respuesta a este problema, resolviendo sistemas con el mismo número de ecuaciones que incógnitas.

El método de resolución de Gauss lleva su nombre debido a que Gauss lo describió en un artículo detallando los cálculos que hizo para determinar la órbita del asteroide Pallas. Los parámetros de la órbita tenían que determinarse mediante observaciones del asteroide durante seis años (1803-1809). Esto dio lugar a seis ecuaciones con seis incógnitas.

Gauss demostró cómo resolver estas ecuaciones, reemplazándolas sistemáticamente por un nuevo sistema en el que sólo la primera ecuación tenía seis incógnitas, la segunda cinco, la tercera sólo cuatro, y así sucesivamente, hasta que la sexta ecuación tenía una sola incógnita. Este método también se denomina método de reducción en cascada o de triangulación.

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El método de Gauss consiste en obtener sistemas equivalentes al que queremos resolver, cada vez más sencillos, hasta obtener uno muy simple con forma triangular.

El sistema que buscamos debe tener una única incógnita en su última ecuación, dos en la penúltima, ...., y todas las incógnitas en la primera ecuación.

Las soluciones se obtienen finalmente de abajo a arriba. Esto es, resolvemos la última, sustituimos el valor obtenido en la penúltima, y así sucesivamente.


En la siguiente presentación se explica de manera sencilla, clara y mediante un ejemplo el método de Gauss. En este caso, resuelve un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Gauss. Sistemas de ecuaciones  Presentación de José María Vázquez
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Rellena los huecos, para completar la resolución mediante el método de Gauss del siguiente sistema:
2x - 2y + 6z = - 8 Mantenemos la 1ª fila 2x - 2y + 6z = - 8
Mantenemos la 1ª fila 2x - 2y + 6z = - 8
2x + 2y + 2z = 4 Colocamos, 2ª - 1ª fila y - z = 12 Colocamos, 2ª fila : 4
y - z =

2x + 4y - 2z = 12

Colocamos, 3ª - 1ª fila y - 8z = Colocamos, 3ª fila : 2 y - 4z =

 

 

 

Mantenemos la 1ª fila 2x - 2y + 6z = - 8 Calculamos x
 x = (-8 + 2y - 6z) : 2 =
Mantenemos la 2ª fila y - z = 3 Calculamos y
 y = 3 + z =
Colocamos, 3ª - 3 · 2ª fila - z =
Calculamos z
 z =
  

Icono IDevice Objetivos

Puedes utilizar Wiris para resolver sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas o de cualquier número de ecuaciones o icógnitas. Basta que sigas los pasos que se detallan en la presentación que aparecía en el punto 3.2 de este tema. Sólo tendrás que cambiar el número de ecuaciones que tiene el sistema, y por supuesto, al escribir cada una de las ecuaciones, añadir las incógnitas necesarias.


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