1.3 Caminando en el espacio vectorial

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Como te ha indicado Descartes, ya conoces dos espacios vectoriales sobre los que has estado trabajando, el plano y el espacio . Pero ¿Qué es un espacio vectorial?, pues más o menos algo parecido a lo que has visto hasta ahora, un conjunto de objetos, sobre los que hay definida una operación suma (+) y sobre el que definimos el producto de un número cualquiera por uno de los objetos del conjunto (·). Si tenemos un conjunto V, decimos que V con las operaciones suma (+) y producto por un escalar (·) es un espacio vectorial si se cumplen las siguientes propiedades:

1.- Si x e y son dos elementos del conjunto V, entonces x+y=y+x.

2.- Si x, z e y son tres elementos del conjunto V, entonces (x+y)+z=x+(y+z).

3.- Existe un elemento del conjunto V que representaremos por 0 de forma que 0+x=x para todos los elemntos x del conjunto V. Lo llamaremos elemento neutro.

4.- Si x es un elemento del conjunto V existe otro elemento que representaremos por -x de forma que x+(-x)=0 para todos los elementos x del conjunto V.

5.- Si k es un número y x e y son elementos del conjunto V, entonces k·(x+y)=k·x+k·y .

6.- Si k y p son números, entonces k·(p·x)=p·(k·x) para todos los elementos x del conjunto V.

7.- Si k y p son números, entonces (k+p)·x=(k·x)+(p·x) para todos los elementos x del conjunto V.

8.- 1·x=x para todos los elementos x del conjunto V.

Así, en el conjunto de todos los vectores del plano, observamos que se cumplen todas estas propiedades ya que si consideramos los vectores , y y los números y , entonces:


1.- .

2.-

3.-El elemento neutro es , ya que

4.- Dado tenemos que ya que

5.- que es un vector de .

6.-

7.-

8.-

Esto mismo sucede en el espacio de tres dimensiones .

Es una definición demasiado teórica, por lo que vemos a verla con algunos ejemplos:


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Si consideramos el conjunto de todos los vectores del espacio que tienen la forma , es decir, que las dos primeras coordenadas son cero, vamos a ver si este conjunto con la operación suma de vectores y la operación del producto de un número por un vector, que ya conocemos es un espacio vectorial.

Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto

Si consideramos el conjunto de todos los vectores del espacio y definimos el producto de un número por un vector como

 vamos a ver si este conjunto con la operación suma de vectores y la operación del producto de un número por un vector definida, es un espacio vectorial.


AV - Pregunta de Selección Múltiple
De los siguientes espacios que te proponemos marca los que sean espacios vectoriales:
El conjunto de los vectores de cuya primera y tercera coordenadas son cero, con las operaciones suma de vectores y producto de un escalar por un vector que ya conoces
El conjunto de los vectores de cuya segunda coordenada es cero, con las operaciones suma de vectores y producto de un escalar por un vector que ya conoces
El conjunto de los vectores de cuya segunda coordenada es el doble que la primera, con las operaciones suma de vectores y producto de un escalar por un vector que ya conoces
El conjunto de los vectores de cuya segunda coordenada es 5, con las operaciones suma de vectores y producto de un escalar por un vector que ya conoces



Icono IDevice Para saber más

El concepto de espacio vectorial se puede aplicar a múltiples conjuntos en matemáticas. Te proponemos que compruebes los dos siguientes puntos:

1.- El conjunto formado por el espacio cuyos vectores tienen la forma con la operación suma de vectores que conoces y te recordamos abajo, y el producto de un número por un vector que te recordamos, es un espacio vectorial:

1.1 Suma de vectores

1.2 Producto de un número por un vector

 

2.- El conjunto formado por las matrices de orden 3x3 con la operación suma de matrices y producto de un número por un matriz es un espacio vectorial


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Pierre de Fermat, imagen tomada de Wikimedia Commons.
Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curva plana. Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores. Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827. El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con la presentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector). Son elementos de y ; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones lineales.
En 1857, Cayley introdujo la notación matricial, que permite una armonización y simplificación de las aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones. En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensión, así como de producto escalar están presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo que hoy en día se llaman álgebras. El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.
Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920 y por Hilbert. En este momento, el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. También en este tiempo, se realizaron los primeros estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones.

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