1.3 Se puede operar con cualquier cosa.

Cuando uno, en su tierna infancia, comienza a adentrarse en el apasionante mundo de las matemáticas, comienza con las cosas más simples: reconocer los números, contar, ordenar, y llega un momento en que se comienza a operar con esos números. A partir de ahí lo que hacemos es ampliar el número de operaciones que vamos conociendo y aplicando.

A veces nos llaman la atención sobre alguna operación que no es posible realizar. Por ejemplo, a todos nos han dicho alguna vez que no es posible sumar peras y manzanas (aunque si podemos si el resultado son piezas o kilos de frutas ). Podemos pensar que sólo podemos operar con números, pero vamos a ver en este apartado que también es posible operar con otros elementos, en nuestro caso con sucesos.

Importante

Dado un suceso cualquiera A se llama suceso contrario de A al que se verifica siempre que no se verifique A, es decir, el que está formado por todos los sucesos elementales que no están en A. Al contrario de un suceso se le representa de diversas formas, según los apuntes que veamos, unas veces como A', otras como A^c, pero nosotros utilizaremos la notación que suele ser más aceptada. Así nosotros representaremos el contrario de A como .

Si lanzamos un dado de seis caras y consideramos el suceso salir par, su contrario sería, lógicamente, salir impar, es decir:

A={salir un número par} = {2, 4, 6} = {no salir par} = {salir impar} ={1, 3, 5}

AV - Reflexión

Vamos a considerar el experimento de sacar una bola de una bolsa opaca donde hay diez bolas numeradas del 1 al 10. Escribe qué sucesos elementales compondrían cada uno de los siguientes sucesos y escribe su suceso contrario.

a) A={salir un 7}

b) B={salir un número múltiplo de 3}

c) C={salir un número mayor que 6}

Ahora vamos a ver las dos operaciones fundamentales con sucesos y verás que quizás te recuerden cosas conocidas. ¿Recuerdas cuando calculábamos el m.c.d. y el m.c.m. de varios números, que en el primero escogíamos sólo los factores comunes y en el segundo tomábamos los valores comunes y los no comunes, lógicamente sin repetir los comunes? Pues algo parecido veremos a continuación.

Importante

Se define la unión de dos sucesos A y B como un nuevo suceso que ocurre cuando sucede A o B, o ambos sucesos. Se representa por y está formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A, a B o a ambos.

Se define la intersección de dos sucesos A y B como un nuevo suceso que solo ocurre cuando ocurren a la vez A y B. Se representa por y está formado por los elementos comunes a ambos sucesos.

Por ejemplo, si tenemos el experimento de lanzar un dado cúbico y el suceso A={salir número impar} = {1,3,5} y B={salir número primo}={2,3,5}, la unión sería ={salir impar o primo} = {1,2,3,5}, y la intersección ={salir un número primo que sea impar} = {3,5}.

En el apartado 1.2 vimos un applet de Descartes en el que aparecían diversos sucesos. En el siguiente enlace,Actividades de unión e intersección , tienes parte del material elaborado por Enrique Armenteros donde puedes apreciar los sucesos contrarios, uniones e intersecciones de los 10 sucesos que vimos en el punto anterior. Solo debes tener cuidado de no confundirte pues él utiliza la notación A^c para representar el contrario de un suceso.

La intersección de sucesos nos sirve además para estudiar la compatibilidad o no de dos sucesos. En concreto, si la intersección de dos sucesos es el conjunto vacío, es decir, el suceso imposible, entonces los sucesos son incompatibles. En caso contrario son compatibles. Como caso particular un suceso y su contrario son incompatibles y su unión da el conjunto de todos los elementos, es decir, el espacio muestral. Luego dado un suceso cualquiera A se verifica:

Debes tener también en cuenta que lo contrario de la unión de dos sucesos no es la unión de los contrarios sino la intersección. Por ejemplo, lo contrario de que un dado pueda salir par o múltiplo de 3 es que el número que salga no sea ni par ni múltiplo de 3. De forma análoga, lo contrario de que salga un número impar y primo es que salga un número que no sea impar o que no sea primo, es decir, el 2 verificaría ese suceso. Te incluimos aquí, las actividades:

CONTRARIO

UNIÓN

INTERSECCIÓN

Resumiendo, se cumple siempre $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$ y $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$ . Puedes ver ejemplos en la página de ed@d a la que te lleva el siguiente enlace. Incluimos aquí los siguientes Ejercicios de unión, intersección y contrarios

AV - Reflexión

Varias fichas de dominó: 5 doble, 5-6, 6 doble, 6-4 y 6-1

Jorge, a quien conocimos en la historia inicial, es muy aficionado a jugar con sus amigos al dominó. Mientras terminan de llegar todos los compañeros de partida, suele proponer ejercicios a los amigos para que tengan claro cuáles son las fichas que hay y lleven después las cuentas en la cabeza. Les plantea los siguientes sucesos, coger una ficha del montón con la condición:

A={la suma de los números que componen la ficha sea mayor que 8}

B={la diferencia entre los dos números sea menor que 2}

Jorge les pregunta si hay alguna ficha que cumpla las dos condiciones y, en ese caso, cuál o cuáles son; qué fichas cumplen alguna de las dos condiciones; qué fichas no entran dentro del suceso B y qué fichas no cumplen ninguna de las dos condiciones.

Ayuda: Fíjate que lo que está proponiendo Jorge equivale a los siguientes sucesos: , , y . Lo mejor es que comiences escribiendo el espacio muestral. Te recordamos que en el dominó normal hay 28 fichas que van desde la doble blanca (que representaremos por 00) hasta la doble 6 y aparecen todas las formas de combinar los números del 0 al 6.

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