1. Orientémonos con sentido.

Vamos a comenzar a formalizar el concepto de vector haciendo uso de nuevo de los desplazamientos.

Supongamos que vamos circulando por la única carretera existente entre dos ciudades, ciudad A y ciudad B. Tenemos dos posibles opciones, a las que llamamos vectores, que no son más que distintas maneras de orientar el segmento AB.

1. Circulamos desde A hacia B. Lo representamos como vector . El origen es el punto A y el extremo el punto B.

2. Circulamos desde B hacia A. Lo representamos como vector . El origen es el punto B y el extremo el punto A.

En los dos casos, la distancia entre los puntos A y B (ciudades A y B) es la misma y se denomina módulo del vector.

La situación presentada es una de las infinitas ocasiones en las que necesitamos hacer uso de los vectores.

Actividad

Un vector fijo no es más que un segmento orientado entre dos puntos que denotaremos por . El punto A se llama origen y el B extremo.

Atributos característicos de un vector fijo son:

* Dirección: Es la recta que pasa por los puntos A y B

* Sentido: Es el que va del origen al extremo del vector

* Módulo: Es la longitud del segmento AB. Se representa

Cuando dos vectores fijos tienen iguales la dirección, el módulo y el sentido diremos que son equipolentes (o equivalentes).

Vamos a poner en práctica lo visto hasta el momento con dos escenas del proyecto Descartes elaboradas por Eva Mª Galán Solar.

En la Escena 1, puedes pulsar para activar las rectas que indican la dirección de los vectores.

En la Escena 2, debes clicar encima y arrastrar los puntos amarillos colocados en A, B, E y F.

AV - Pregunta Verdadero-Falso

Responde Verdadero o Falso a las siguientes cuestiones relacionadas con las escenas anteriores:

(1) Los vectores

(de la Escena 1) tienen el mismo sentido.

Verdadero Falso

(2) Los vectores

(de la Escena 1) tienen la misma dirección y el mismo sentido.

Verdadero Falso

(3) No hay ninguna pareja de vectores (en la Escena 1) que tengan el mismo módulo.

Verdadero Falso

(4) Los vectores

(de la Escena 2) son equipolentes.

Verdadero Falso

Pre-conocimiento

¿"Dirección" prohibida o "sentido" prohibido?

A veces, cuando nos expresamos en el lenguaje coloquial, solemos relajarnos y perder el rigor a la hora de hablar, incluso, en ocasiones, podemos generar confusiones y conflictos innecesarios. Estas confusiones suelen aparecer, por ejemplo, cuando nos referimos a los términos: dirección y sentido.

Habitualmente, solemos decir que vamos en "dirección contraria o dirección prohibida", cuando vemos la siguiente señal. Sentido prohibido

Esta afirmación es incorrecta, esa señal indica "sentido prohibido" no "dirección prohibida". Indica que no se puede continuar hacia adelante, en el sentido de la marcha que llevamos.

No podemos decir que vamos en "dirección contraria" porque simplemente no existen direcciones contrarias. Hay múltiples, infinitas, direcciones. Podemos llevar la misma dirección que otro vehículo, persona, calle o se puede llevar una dirección distinta pero no podemos llevar nunca una dirección contraria a otra. Dos calles paralelas tienen la misma dirección, es decir, la dirección es la recta sobre la que están. Cuando en esa línea colocamos una flecha, entonces estamos definiendo el sentido.

Así, mientras hay infinitas direcciones posibles, sentidos sólo puede haber dos, así que sí se puede hablar de sentido contrario. Dos vehículos que circulan de Huelva a Sevilla, por la A49, y de Huelva a Sevilla, respectivamente, circulan en la misma dirección pero en sentidos contrarios.

Toma nota de este detalle, verás como deberás corregir a más de uno/a y a más de dos. ¡Hablemos con propiedad, gracias a las Mates!

Los vectores, igual que las personas o cualquier otro tipo de cosas, se agrupan en función de sus características (color, tamaño, forma, dirección, sentido, ...) o intereses. Eso es precisamente lo que se pretende que realices en la siguiente escena, agrupar vectores con las mismas características, vectores equipolentes.

Coloca dentro de cada uno de los cuatro cuadriláteros, los vectores que creas que son equipolentes al que se encuentra dentro. Para hacer esto, debes arrastra el punto negro situado en el origen de cada vector. Nota: Usa el zoom de la escena si lo necesitas.

Actividad

Un vector libre está compuesto por un vector fijo y todos los vectores equipolentes a él. Cada uno de estos vectores fijos es un representante del vector libre.

Dicho de otro modo, un vector libre no es más que un vector fijo que se puede trasladar libre y paralelamente a sí mismo. Todos los representantes de un vector libre, tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo.

Los vectores libres se escriben entre corchetes o con letras minúsculas,, ya que no hay dependencia de su origen y extremo, cualquier representante lo identifica.

¿Cuántos vectores libres has obtenido con la agrupación anterior?

Cuatro, ¿verdad?. Los 17 vectores fijos, han quedado reducidos a tan sólo cuatro vectores libres. O sea, que en principio hay muchos vectores fijos pero en muchos casos representan el mismo vector libre, es decir, representan el mismo desplazamiento.

Hasta aquí bien, hemos visto la cara geométrica de los vectores. A continuación, veremos la cara algebraica de los mismos y, de aquí en adelante, trabajaremos en paralelo desde ambos mundos: "el geométrico (dibujos) y el algebraico (coordenadas)"

Ya sabes que los vectores indican desplazamientos desde un punto origen a un punto extremo. Desplazamientos que tienen dos componentes: la componente horizontal (hacia la derecha o hacia la izquierda) y la componente vertical (hacia arriba o hacia abajo). Cada uno de ellos es realmente un vector y la suma de ambos vectores indicará el desplazamiento total. Esta es la base sobre la que se sustenta la introducción de las coordenadas de los vectores y que representa la conexión entre los dos mundos: dibujos y coordenadas.

Las coordenadas del vector v son (+6,-4) Desplazamientos: Horizontal x= +6 (hacia la derecha), Vertical y=-4 (hacia abajo)

Si observas con detenimiento la escena anterior de Descartes (Vectores libres), comprobarás que lo que ocurre es que todos los vectores equipolentes representan exactamente los mismos desplazamientos, todos tienen las mismas coordenadas. Partiendo de distintos orígenes pero, al fin y al cabo, los mismos desplazamientos.

AV - Pregunta de Elección Múltiple

Apoyándote en el applet de Geogebra anterior, realiza las siguientes actividades:

(1) Desplazando únicamente el extremo del vector , obtén un vector equipolente a

Comprueba si lo has realizado correctamente.

(2) Representa los vectores

Comprueba si lo has realizado correctamente.

(3) El vector representado en la imagen

es:

	(0,5)
	(4.5,0)
	(0,4.5)

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.	Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.
Escena 1. Para practicar: Dirección, Sentido y Módulo	Escena 2. Para practicar: Vectores equipolentes