2.2. Las reglas están para cumplirlas

Si seguimos con nuestro ejemplo de la función f(x)=x²-2x, y recurrimos a nuestra tabla de funciones elementales, podremos derivar sin problema x², ¿pero qué ocurre con 2x? ¿y con la resta de ambas? Necesitamos nuevas reglas, para derivar las operaciones con funciones: suma, resta, multiplicación...

Actividad

Suma	(f+g)'=f'+g'	La derivada de la suma de funciones es la suma de las derivadas de estas funciones
Resta	(f-g)'=f'-g'	La derivada de la diferencia de funciones es la diferencia de las derivadas de estas funciones
Producto	(f·g)'=f'·g+g'·f	La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la segunda derivada por la primera sin derivar.
Cociente	$\small {\left ( \frac{f}{g} \right )}'=\frac{f'\cdot g-g'\cdot f}{g^{2}}$	La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar, y todo ello dividido por el denominador al cuadrado
Producto por un número	(a·f)'=a·f'	La derivada del producto de un número real por la función es igual al número real por la derivada de la función
Composición	(g°f)'=[g(f(x))]'=g'(f(x))·f'(x)	Regla de la cadena

Veamos unos ejemplos en la siguiente presentación

Reglas de derivación

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La mejor forma de aprender a derivar es derivando, así que aquí tienes unos videos del Profesor de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Juan Medina Molina (juanmemol). Quizás sea una buena idea que pinches para verlos en pantalla completa, o pinchando sobre ellos para verlos en la página de youtube:

Derivada de un monomio	Derivada de una exponencial	Derivada de un polinomio	Derivada de un producto

Derivada de un cociente	Derivada de una composición

Objetivos

Es necesario aprender a derivar manualmente, pero en la actualidad hay multitud de programas que nos simplifican y nos ayudan a realizar comprobaciones. A continuación, tenemos dos enlaces a una página del ite, donde podemos encontrar un pequeño manual de cómo derivar con ambos programas y algunos ejercicios:

Derivar con:

¿Nos animamos a comprobar los resultados de los videos anteriores en ambos programas?

En los primeros apartados del tema hemos visto cómo se relacionaban la velocidad y el espacio recorrido. Después de un trabajoso tema, estamos en condiciones de afirmar que si tenemos una función que nos exprese el espacio en función del tiempo, al derivar dicha función obtenemos una nueva función que nos da la velocidad en función del tiempo.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Todos sabemos que la caída de pelo es mayor en unas épocas que en otras, pero... ¿y su velocidad de crecimiento? ¿nos crece más el pelo en unos meses que en otros? Supongamos que la longitud de nuestro pelo viene determinada por la función:

$\small l(t)=3\sqrt{t}$

donde t, indica el tiempo en meses.

¿Cuál será la velocidad de crecimiento en Febrero (mes 2)? ¿Y en Julio? ¿Cuál es la función que nos da la velocidad de crecimiento en función del tiempo?

Aprovechando la coyuntura del pelo y para darle un toque literario al final del tema, podemos leer un fragmento del libro La ciudad Rosa y Roja de Carlo Frabetti (1945). Por cierto, dos cosas, se ha señalado en negrita unas palabras que descubrirás en los siguientes temas cuál es su relación con la derivada, y al texto le acompaña una imagen del cuadro Viva el Pelo, del pintor cordobés Julio Romero de Torres (1874-1930).

Pre-conocimiento

Viva_el_Pelo por jerotinoco
CC by-nc-nd 2.0

Aquella princesa de largos y dorados cabellos estaba alarmada al observar que cada día muchos se quedaban enredados en su peine. Pero, para su tranquilidad, la cuenta se mantenía siempre alrededor de los ciento cincuenta mil cabellos, pese a que se le caían unos cincuenta diarios, por lo que no parecía probable que fuera a perder su dorado atributo.

Llegado el momento de tomar esposo, la princesa declaró que sólo se casaría con quién adivinara la longitud de su cabellera. Eran datos sobradamente conocidos el número de sus cabellos y los que perdía diariamente, así como el hecho de que nunca se los cortaba, ya que la augusta melena era uno de los temas de conversación más frecuentes en palacio. Así que el astrónomo real, que la amaba en silencio, se presentó ante la princesa (que para confundir a sus pretendientes se recogía el pelo en un enorme moño) y le dijo:

-Si tenéis ciento cincuenta mil cabellos y se os caen unos cincuenta diarios, dentro de tres mil días se habrán caído todos los que ahora adornan vuestra cabeza (aunque, naturalmente, para entonces tendréis otros ciento cincuenta mil, que os habrán ido saliendo al mismo ritmo que se os caen, puesto que la cuenta diaria demuestra que el número de vuestros cabellos permanece constante). Lógicamente, los últimos en caer serán los que hoy mismo os han salido, lo que equivale a decir que la vida media de un cabello es de tres mil días. Puesto que el cabello humano (incluso el principesco) crece a razón de un centímetro al mes, y tres mil días son cien meses, vuestra cabellera debe medir en su punto de máxima longitud (ya que en realidad tenéis cabellos de todas las medidas) aproximadamente un metro.

La princesa se casó con el astrónomo, que , acostumbrado a contar las estrellas, pasó a ocuparse personalmente del cómputo de los cabellos, uniendo al rigor del cienfífico la solicitud del esposo.

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