2.1. Elemental, querido Watson
 Rolling moon por taivasalla CC by-nc-sa 2.0

 

 

En la autoevaluación del apartado "Las comparaciones son odiosas", nos pedían calcular la derivada de la función f(x)=x2-2x en varios puntos. Observa que se trata de una nueva función, f', que asocia a cada abscisa, x, el valor de la pendiente (la derivada) de la función f en x.

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Si tenemos una función f(x) denominamos función derivada de f respecto a la variable x a una nueva función que para cada valor x nos proporciona la derivada de la función en el punto x. A la función derivada de f(x) la denotaremos f'(x), aunque también la puedes ver representada como . De esta forma tenemos que:

 

Recuerda que con esta definición, la función derivada nos proporciona, para cada punto x, la pendiente de la recta tangente a la función en en punto x.


Los valores de la tabla que rellenamos corresponden a la recta y=2x-2. ¿Será entonces f'(x)=2x-2?

Para probarlo, vamos a obtener la derivada de f(x)=x2-2x en un punto cualquiera, x.

 

 


En la siguiente escena de Geogebra, distinguimos cómo va surgiendo la derivada de la función f(x)=x3 de la manipulación de su pendiente.
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Utilizando la escena anterior, rellena los siguientes espacios en blanco:
  1. f'(x) le asociada a cada valor x la en el punto x, que es la de la recta tangente en x.
  2. Completa la siguiente tabla de valores de la función derivada
    x -1 0 1 2
    f'(x)

  3. La derivada de f(x)=x3 es f'(x)= (las pontencias las insertaremos utilizando ^, por ejemplo x5 lo expresamos x^5)
  

No nos preocupemos, no va a ser necesario recurrir a la definición para calcular la derivada, ni tampoco representarla gráficamente, serían procesos muy largos y tediosos. Sin existen unas sencillas reglas prácticas con las que la función derivada de cualquier función elemental se puede hallar muy fácilmente.

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A la derivada de una función también se la denomina derivada primera. Si volvemos a derivar la derivada primera de una función, obtenemos la llamada derivada segunda; la derivada de la derivada segunda se denomina derivada tercera; y así sucesivamente. Éstas son las llamadas derivadas sucesivas de una función:

 

 


Si nos fijamos es como un efecto domino:

La diferencia es que no siempre es tan larga esta cadena de derivadas como queramos, puede llegar un momento en el que se repita la derivada indefinidamente. Por ejemplo, la derivadas sucesivas de una constante son siempre cero, y la derivada de la función exponencial f(x)=ex es siempre ella misma.

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¿Existen otras funciones que a partir de alguna de sus derivadas sucesivas siempre se repitan?

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