Imagina la siguiente situación: Vas en el asiento de atrás de un coche que circula a una velocidad y lanzas un papel hacia adelante a una velocidad . ¿A qué velocidad observas que se mueve el papel?.... Evidentemente, a la velocidad .

Si una persona que está parada en la carretera observa toda la escena, dirá que el papel va a una velocidad . Con este ejemplo parece claro que necesitamos una referencia, una base respecto a la que calcular los vectores que manejamos. El sistema de referencia que utilizas cuando estás dentro del coche es distinto del sistema de referencia que utiliza la persona que está parada en la carretera.

Podemos complicar un poco más la situación. Imagina que un astronauta que está en un satélite que siempre se mantiene a la misma distancia de la Tierra observa el lanzamiento del papel. En este caso, este astronauta observa que la velocidad a la que se mueve el papel es la suma de las dos anteriores más la de rotación de la Tierra.

Si alguien estuviera en el Sol y observara el lanzamiento del papel, observaría que la velocidad a la que se mueve es la suma de las tres anteriores más la de traslación de la Tierra.

¿No te da vértigo pensar la velocidad a la que viajamos cuando estamos parados?

 

Así, para trabajar con vectores lo primero que debemos tener determinado es un sistema de referencia. En el caso del plano, ya conoces el sistema de referencia que aparece en la imagen de la derecha. En este sistema observamos dos vectores que vamos a destacar:

.- El primero es el que une el punto (0,0) con el punto (1,0): .

.- El segundo es el que une el punto (0,0) con el punto (0,1): .

Estos dos vectores son linealmente independientes y cualquier vector del plano lo vamos a poder poner como combinación lineal de estos dos. Por ejemplo, si consideramos el vector tenemos que

Así decimos que los vectores y son una base de

En el caso de ya hemos trabajado con el sistema de referencia que aparece en la imagen de la derecha. Ahí podemos ver representado el punto . en este sistema de referencia observamos tres vectores que vamos a destacar:

.- El primero es el que une el punto (0,0,0) con el punto (1,0,0): .

.- El segundo es el que une el punto (0,0,0) con el punto (0,1,0): .

.- El tercero es el que une el punto (0,0,0) con el punto (0,0,1): .

Estos tres vectores son linealmente independientes y cualquier vector del espacio lo vamos a poder poner como combinación lineal de estos tres.

Por ejemplo, si consideramos el vector . Tenemos que

Así decimos que los vectores , y son una base de

Hito topográfico de las tres fronteras. Imagen obtenida del banco de imágenes del ITE

A nivel de la Tierra también nos encontramos con problemas similares a los que vimos en el ejemplo del lanzamiento del papel en el coche, pero no te preocupes que ya han sido solucionados. El problema es encontrar un sistema de referencia para resolver los problemas vectoriales que tengamos y poder tomar medidas reales. Así, en el espacio no siempre vamos a poder encontrar una base tan sencilla como la anterior ya que vamos a tener que basarla en puntos que conozcamos. Un ejemplo claro de este caso lo tenemos en los puntos de referencia que utilizan los topógrafos. Los hitos como el que podemos observar en la imagen de la derecha. Con tres de estos hitos: A, B y C tenemos una base vectorial formada por los tres vectores , y , pero la combinación lineal no va a resultar tan fácil como la que hemos observado anteriormente con el vector . A partir de este tipo de bases generan los distintos mapas topográficos que después sirven para la realización de carreteras, explotaciones mineras, movimientos de tierras, etc. Estos mismos mapas son los utilizados por el ejército. En el Instituto Geográfico Nacional aparecen recopilados.

Otros sistemas de referencia son los que utilizan los GPS pero estos están basados en coordenadas establecidas desde satélites.