Lo primero que hacemos es abrir la función:

La función es continua en x=-3 y en x=3.

Vamos a estudiar si es derivable en x=-3 y en x=3, para ello necesitaremos la derivada de la función:

Una vez calculada, obtenemos las derivadas laterales de la función para x=-3 y x=3:

Como podemos observar las derivadas laterales no coinciden, por lo tanto no es derivable en x=-3.

Para x=3, nos ocurre lo mismo, así que podemos decir que tampoco es derivable en x=3. 

Luego la función  es derivable en .

a) Nos están pidiendo que calculemos la recta tangente en x=a:

Si lo hacemos paso a paso, obtenemos:

Luego si sustituimos en la primera fórmula, se nos queda de la siguiente manera:

Si despejamos y sacamos factor común, resulta la siguiente expresión:

, que es la recta tangente que estabamos buscando.

b) Sabemos que la recta pasa por el punto P(1,0), luego lo que tenemos que hacer es sustituir en la ecuación de la recta tangente que hemos calculado en el apartado anterior la x por 1 y la y por 0:

; si pasamos dividiendo el término nos queda , haciendo operaciones obtenemos:

Por consiguiente el valor que buscamos es .

Para resolver este ejercicio, utilizaremos las aplicaciones a la derivada:

La función f(x) es creciente.

Si  La función f(x) es decreciente.

Nos fijamos en la FIG. 1, en el primer trozo de la gráfica, la función es positiva y el resto es negativa, pues está en la parte inferior del eje y. Esto significa que si es la derivada de una función, dicha función sería creciente en el primer trozo y decreciente en el segundo. Si miramos las demás figuras, podemos observar que una de ellas coincide con lo anterior, es decir, la FIG.3, primero es creciente y luego decreciente.

Entonces, la FIG. 1 es la derivada, . La FIG.3 es la función f(x) y la FIG. 2 es la función g(x).