Termometri de aldoaldoz, CC by-nc-sa 2.0

Ya que has medido distancias en la recta real, te habrás dado cuenta de que si nos ponemos a medir por ejemplo desde el 0, hay dos números que están a 9 unidades de él, que son el 9 y el -9.

Ambos números comparten un mismo valor (su distancia al cero), pero tienen distinto signo. A ese valor es al que llamamos valor absoluto.

Vamos a unir los tres conceptos que hemos aprendido en este "Abierto (o cerrado) hasta el amanecer".

Podemos preguntarnos qué números reales tienen, por ejemplo, valor absoluto menor que 2. Nos valdría el -1'9, el -0'6, el 0, el 1... es decir, todos los números que están entre -2 y 2. Es más, ni el 2 ni el -2 nos valen, pues su valor absoluto es exactamente 2. Recuerda que esto lo habíamos expresado como un intervalo: (-2 ; 2).

Es decir, los números que cumplen |x| < 2 son los del intervalo (-2 ; 2).

En la siguiente animación, puedes resolver el problema |x| < k moviendo el deslizador rojo. Mira cómo cambia la solución.

Si buscamos los números reales que están a menos de 2 unidades de distancia del 5, lo que queremos es encontrar un número que, al restarle 5, obtengamos un valor menor que 2. Para que al restar no nos afecte el signo, consideramos su valor absoluto, y así el signo desaparece. Piénsalo: los números que buscamos van desde el 3 hasta el 7, o lo que es igual, son los números del intervalo (3 ; 7).

Los números que cumplen |x-5| < 2 son los del intervalo (3 ; 7).

En la siguiente animación puedes resolver el problema |x - a| < k moviendo los deslizadores verde y rojo. Mira cómo cambia la solución.