1.1. ¡Esto es lo que hay!
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Futbol sala, imagen de malojavio bajo licencia CC by-sa/2.0 |
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Se llama ecuación lineal con tres incógnitas a la suma de las tres incógnitas, multiplicadas por números, e igualada la suma a otro número. Por ejemplo, 6·x-2·y+9·z=24.
Esta definición puede ampliarse a cualquier cantidad de incógnitas. La única exigencia es que las variables vayan multiplicadas por números y sumadas. Puede darse que las variables aparezcan en distinto miembro, en ese caso basta agrupar todas las variables en un miembro y en el otro el término independiente. Por ejemplo, la ecuación 6x+9z=24+2y es equivalente a la anterior.
Se llama solución de la ecuación lineal a un conjunto de valores que al sustituirlos en las incógnitas hacen que se verifique la igualdad. Por ejemplo, los valores x=2, y=3, z=2 son solución de la ecuación anterior ya que se verifica que 6·2-2·3+9·2 = 12-6+18 = 24.
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Por ejemplo a continuación tenemos un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas y otro de 2 ecuaciones con cuatro incógnitas.
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La solución de un sistema de ecuaciones lineales es el conjunto de valores que verifican todas y cada una de las ecuaciones.
Por ejemplo, los valores x=1, y=-3, z=-6 verifican el primer sistema anterior ya que se verifica:
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Fotografía tomada del Banco de Imágenes y sonidos del ITE. |
En un grupo de Bachillerato formado por 35 alumnos los hemos repartido formando tres equipos de baloncesto, dos de balonmano y uno de balonvolea. En otro grupo hemos formado dos de baloncesto, uno de balonmano y dos de balonvolea, juntando en total 29 alumnos. Por último, con 30 alumnos hemos conseguido un equipo de baloncesto, otro de balonmano y tres de balonvolea.
- Si x representa el número de alumnos que forman un equipo de baloncesto, y los del balonmano y z los que componen un equipo de balonvolea, escribe un sistema de tres ecuaciones con esas tres incógnitas que recoja la información anterior.
- Comprueba que x=5, y=7 y z=6 es solución del sistema anterior. ¿Qué representan esos valores?
Una forma muy cómoda de trabajar con un sistema es mediante su forma matricial, pues vamos a poder aplicar todo lo que hemos aprendido hasta el momento en la unidad.
Si tenemos un sistema general , se agrupan en forma matricial los términos como:
.
La matriz recibe el nombre de matriz de los coeficientes y esta formada, por filas, por los coeficientes de cada una de las ecuaciones y por columnas por los coeficientes de cada variable.
La matriz es la matriz de las incógnitas y
la matriz de los términos independientes.
Se llama matriz ampliada a la que se obtiene añadiéndole a la matriz de los coeficientes la columna de los términos independientes. .
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Dado el sistema escríbelo en forma matricial y comprueba que, aplicando las operaciones con matrices, esa expresión es equivalente al sistema original.
¿Cuál sería la matriz ampliada en ese sistema?
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Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen exactamente las mismas soluciones, es decir, todas las soluciones del primer sistema lo son del segundo y viceversa.
Las propiedades que permiten convertir un sistema de ecuaciones en otro equivalente ya las has visto en cursos anteriores y son muy parecidas a las que hemos utilizado para aplicar Gauss en los temas anteriores. Si no las recuerdas o quieres repasarlas puedes hacerlo en el siguiente enlace.