En primer lugar, vamos a ponerle nombre a las variables. Aunque daría lo mismo, parece lógico llamarle X al año e Y a la tasa de donaciones. Así, tenemos:

X= año en curso

Y= tasa de donación anual.

Como queremos estimar un valor de la variable Y conocido uno de X, hemos de calcular la recta que me da valores de Y en función de los de X, o sea, la recta de regresión de Y sobre X.

Al igual que en los ejemplos que había que calcular el coeficiente de correlación, lo primero es sacar la media y la desviación típica de cada variable por separado. Así comenzamos sacando la distribución marginal de ambas y el cálculo de los dos parámetros.

Variable X

• Media: 2001
• Desviación típica: 4,32

Variable Y

• Media:33,759
• Desviación típica: 1,1

Covarianza

1,46

Ahora ya sí tenemos todo lo necesario para calcular la recta de regresión. Así, aplicamos la fórmula y sustituimos los valores de arriba:

Ahora sólo es cuestión de realizar los cálculos y simplificar la expresión:

Luego la recta de regresión de Y sobre X es:

Y= 0,0782·x - 122,719

Nos piden que estimemos el valor de la tasa de donaciones para el año 2009 y 2010. Pues bien, únicamente hemos de sustituir "x" por esos valores y calcular el valor de Y.

Año 2009: Y=0,0782·2009 - 122,719 = 34,3848; o sea, 34,38 donaciones por cada 1000 habitantes de Andalucía.

Año 2010: Y=0,0782·2010 - 122,719 = 34,463; o sea, 34,46 donaciones por cada 1000 andaluces.

Nos queda contestar acerca de la fiabilidad de estas predicciones, y esta información nos la da el coeficiente de correlación.

Así que como puedes ver, la correlación es débil o muy débil, por lo que las predicciones no son demasiado fiables.

Igual que antes, debemos comenzar poniendo nombre a las variables. Por ejemplo vamos a llamar X al número de zorros e Y al número de conejos.

Si ahora nos piden una cifra de zorros sabiendo una de conejos, debemos calcular la recta que me da valores de zorros (X) a partir de los conejos (Y). Por tanto, ahora debemos calcular la recta de regresión de X sobre Y.

(Si la elección de incógnitas la hubiésemos hecho al revés, calcularíamos la otra recta)

Empezamos igual que en el ejemplo anterior; distribuciones marginales, medias y desviaciones.

Variable X

• Media: 21,25 zorros.
  
• Desviación típica: 6,2199 zorros.

Variable Y

• Media: 337,5 conejos.
• Desviación típica: 96,92 conejos.

Covarianza

• S_XY= 584,375.

Calculamos la recta de regresión de X sobre Y como ya hemos dicho antes. Aplicamos la fórmula y sustituimos los valores obtenidos:

Hacemos los cálculos y simplificamos la expresión:

Luego la recta de regresión de X sobre Y es:

X = 0,0622 · y + 0,26

Ahora ya, sí podemos hacer las predicciones que nos piden. Sólo tendremos que sustituir la "y" por el número de conejos que me den:

Hay 350 conejos: X = 0,0622·350 + 0,26 = 22,03; o sea, si hay 350 conejos debe haber 22 zorros.

Hay 1000 conejos: X = 0,0622·100 + 0,26 = 62,46; o sea, si hubiera 1000 conejos, debería haber 62 ó 63 zorros para que el sistema en el bosque se mantuviera.

Para la fiabilidad, nuevamente calculamos el coeficiente de correlación, aunque en este ejemplo hay truco: 

Como podemos ver, la correlación entre las dos variables es muy fuerte, lo que hace que en principio, las predicciones sean muy fiables. En el primer caso está asegurado, pero en el segundo no tanto, pues en los datos recogidos, no hay ninguno que tan siquiera se acerque al valor de 1000 conejos, por lo que no tenemos ninguna información sobre el comportamiento de la población de zorros y conejos con esos datos. Por tanto, podemos decir que la primera estimación es muy fiable pero la segunda no tanto.

Para que la estimación sea buena, la correlación tiene que ser muy fuerte y el valor que queramos estimar debe estar comprendido entre los datos que hemos recogido.